Question

在平面直角坐标系中，原点O在以A，B为直径的圆C外，O点到⊙C的切线长为l；
（Ⅰ）证明：l²=

OA

•

OB

；
（Ⅱ）若点A在抛物线y=x²+1上，点B在圆x²+（y-3）²=1，求l的最小值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出C，l²=OC²-(

AB

2

)2化简即可证明结论．
（Ⅱ）若点A在抛物线y=x²+1上，点B在圆x²+（y-3）²=1，利用（Ⅰ）求出l的表达式，利用不等式化简，构造函数，通过函数的导数求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，…（2分）
l2=OC2-(

AB

2

)2=(

x1+x2

2

)2+(

y1+y2

2

)2-

1

4

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]…（4分）
∴l²=x1x2+y1y2=

OA

•

OB

…（6分）
（Ⅱ）依题意y1=x12+1，x22+(y2-3)2=1
∴l2=x1x2+y1y2=x1x2+(x12+1)y2=y2(x1+

x2

2y2

)2+y2-

x22

4y2

…（8分）
≥y2-

1-(y2-3)2

4y2

=

5y2

4

+

2

y 2

-

3

2

(2≤y2≤4)…（10分）
设h(t)=

5t

4

+

2

t

(2≤t≤4)，
则h′(t)=

5

4

-

2

t2

＞0(2≤t≤4)
∴h(t)=

5t

4

+

2

t

在[2，4]是增函数；
∴h(t)min=h(2)=

7

2

…（12分）
∴lmin=

2

…（13分）

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，函数的导数的应用，综合性比较强，考查分析问题解决问题的能力．