Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=45°，AA₁=AB=2，AD=2

2

，点E是 C₁D₁的中点，点F在B₁C₁上且B₁F=2FC₁．
（Ⅰ）证明：AC₁⊥平面EFC；
（Ⅱ）求锐二面角A-FC-E平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能证明AC₁⊥平面EFC． 
（Ⅱ）求出平面AFC的法向量和平面EFC的法向量，利用向量法能求出锐二面角A-FC-E平面角的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，
建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．
则依题意，得A（0，0，0），C（4，2，0），
C₁（4，2，2），E（3，2，2），F(

10

3

，

4

3

，2)．…（3分）
∴

AC1

=(4，2，2)，

EF

=(

1

3

，-

2

3

，0)，

EC

=(1，0，-2)，
∴

AC1

•

EF

═(4，2，2)•(

1

3

，-

2

3

，0)=0．

AC1

•

EC

═(4，2，2)•(1，0，-2)=0
∴AC₁⊥EF，AC₁⊥EC．又EF，EC⊆平面EFC
∴AC₁⊥平面EFC． …（6分）
（Ⅱ）解：设向量

n

=(x，y，z)是平面AFC的法向量，则 

n

⊥

AC

，

n

⊥

AF

，
而

AC

=(4，2，0)，

AF

=(

10

3

，

4

3

，2)，
∴4x+2y=0，

10

3

x+

4

3

y+2z=0，
令x=1得

n

=(1，-2，-

1

3

)．…（9分）
又∵

AC1

是平面EFC的法向量，
∴cos＜

n

，

AC1

＞=

n • AC1

| n| •| AC1 |

=

4-4- 2 3

1+4+ 1 9 • 16+4+4

=-

69

138

．…（11分）
∴锐二面角A-FC-E平面角的余弦值为

69

138

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．