Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c
（1）若f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．求f（x）的解析式，并求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．
（2）若y=f（x）-2x在[5，20]上具有单调性，求实数b的范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=1，求得c的值，f（x）=x²+bx+1；由f（x+1）-f（x）=2x，求得b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函数的性质求得f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．
（2）根据y=f（x）-2x 的图象的对称轴方程为x=

2-b

2

，分函数在[5，20]上是增函数和函数在[5，20]上是减函数两种情况，分别求得b的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）∵f（0）=c=1，∴c=1，f（x）=x²+bx+1，
∴f（x+1）-f（x）=[（x+1）²+b（x+1）+1]-[x²+bx+1]=2x+b+1=2x，
∴b=-1，f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

，
∵x∈[0，2]，∴当x=

1

2

时，f（x）取得最小值为

3

4

，当x=2时，f（x）取得最大值为 3．
（2）∵y=f（x）-2x=x²+（b-2）x+c的图象的对称轴方程为x=

2-b

2

，且函数在[5，20]上具有单调性，
若函数在[5，20]上是增函数，则有

2-b

2

≤5，求得b≥-8．
若函数在[5，20]上是减函数，则有

2-b

2

≥20，求得b≤-38．
综上得：b的取值范围是（-∞，-38]∪[-8，+∞）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．