Question

已知函数f（x）=e^x-a（x+1），在x=ln2处的切线的斜率为1．
（1）求a的值及函数f（x）的最小值；
（2）若对于任意x∈[0，+∞）时，f（x）≥mx²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）利用导数与切线的关系求得a，再利用导数判断函数的单调性求得最小值；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，利用导数求得g（x）的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵函数f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2处的切线的斜率为1，
∴f′（ln2）=2-a=1，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，
∴x=0时，函数有极小值，即为最小值，最小值为0；
（2）令g（x）=f（x）-mx²，则g′（x）=e^x-1-2mx，
设h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，则h′（x）=e^x-2m，
①m≤

1

2

时，h′（x）≥0，h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，满足题意；
②m＞

1

2

时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）≤h（0）=0，∴g（x）是减函数，
∴g（ln2m）≤g（0）=0，不满足题意．
则实数m的取值范围是：（-∞，

1

2

]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线问题、研究函数的单调性最值等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．