题目内容
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0，等比数列{bn}满足a1=b1，a2=b2，a5=b3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意n∈N*均有
+
+…+
=an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意n∈N*均有
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由a2=1+d，a1，a2，a5成等比数列，得（1+d）2=1+4d，可求d，由b2=a2=3，得q=3；
（Ⅱ）易求c1=3，由
+
+…+
=an+1，①得
+
+…+
=an（n≥2），②，①-②得
=an+1-an=2，可得cn，注意n的范围再分n=1，n≥2两种情况讨论可求得Sn；
（Ⅱ）易求c1=3，由
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
| cn |
| bn |
解答：
解：（Ⅰ）由题意a2=1+d，且a1，a2，a5成等比数列，
∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，
又d≠0，∴d=2，
∴an=1+（n-1）d=2n-1，．
又b2=a2=3，∴q=3，bn=3n-1．
（Ⅱ）∵
+
+…+
=an+1，①
∴
=a2，∴c1=3，
又
+
+…+
=an（n≥2），②
①-②得
=an+1-an=2，
∴cn=2bn=2•3n-1（n≥2），
∴cn=
．
当n=1时，Sn=S1=c1=3，
当n≥2时，Sn=c1+c2+…+cn=3+2（3+32+…+3n-1）=3+2•
=3n，
∴Sn=3n．
∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，
又d≠0，∴d=2，
∴an=1+（n-1）d=2n-1，．
又b2=a2=3，∴q=3，bn=3n-1．
（Ⅱ）∵
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn |
| bn |
∴
| c1 |
| a1 |
又
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| cn-1 |
| bn-1 |
①-②得
| cn |
| bn |
∴cn=2bn=2•3n-1（n≥2），
∴cn=
|
当n=1时，Sn=S1=c1=3，
当n≥2时，Sn=c1+c2+…+cn=3+2（3+32+…+3n-1）=3+2•
| 3(1-3n-1) |
| 1-3 |
∴Sn=3n．
点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．
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| 1 |
| 2 |
| A、x0＞c |
| B、x0＜c |
| C、x0＞a |
| D、x0＜a |