Question

设F（x）=f（x）-g（x），其中f（x）=lg（x-1），并且仅当（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的图象上时，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的图象上．
（1）写出g（x）的函数解析式；
（2）当x在什么区间时，F（x）≥0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中仅当（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的图象上时，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的图象上．可得y=g（x）的图象上的点（x，y）的对应点（

1

2

x，

1

2

y）在y=lg（x-1）的图象上，代入整理可得g（x）的函数解析式；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=lg

x-1

( 1 2 x-1)2

，（x＞2），根据对数函数的图象和性质，可得

x-1 ( 1 2 x-1)2 ≥1 x＞2

，解得答案．

解答： 解：（1）∵仅当（x₀，y₀）在y=lg（x-1）的图象上时，（2x₀，2y₀）在y=g（x）的图象上．
∴y=g（x）的图象上的点（x，y）的对应点（

1

2

x，

1

2

y）在y=lg（x-1）的图象上，
即

1

2

y=lg（

1

2

x-1），
即g（x）=2lg（

1

2

x-1），（x＞2），
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=lg（x-1）-2lg（

1

2

x-1）=lg

x-1

( 1 2 x-1)2

，（x＞2），
∴不等式F（x）≥0可化为

x-1 ( 1 2 x-1)2 ≥1 x＞2

，
解得：2＜x≤4+2

2

，
故当x∈（2，4+2

2

]时，F（x）≥0．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数解析式的求解及常用方法，难度中档．