Question

在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC，bcosB，cosA成等差数列．
（1）求B的值；    
（2）求

a+c

b

的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据三角形为锐角三角形得到A+C=2B，即可确定出B的度数；
（2）原式利用正弦定理化简，由B的度数得到A+C的度数，用A表示出C，代入计算得到一个角的余弦函数，由余弦函数的值域确定出最大值即可．

解答： 解：（1）由题意得：acosC+ccosA=2bcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，
整理得：sin（A+C）=sin2B，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+C=2B，
∴B=60°；
（2）由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

sinA+sin(120°-A)

3 2

=2cos（A-60°），
∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜90°，0＜C＜90°，
∴0＜120°-A＜90°，即30°＜A＜90°，
∴-30°＜A-60°＜30°，
当A-60°=0，即A=60°时，

a+c

b

最大值为2．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．