Question

已知函数f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1）．
（1）求证：f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）；
（2）若a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，求f（a）的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件利用对数的性质和运算法则能证明f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）由已知得f（b）=-

1

2

，f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，由此能求出f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

解答： （1）证明：∵f（x）=ln

1+x

1-x

，x₁，x₂∈（-1，1），
∴f（x₁）+f（x₂）
=ln

1+x1

1-x1

+ln

1+x2

1-x2

=ln(

1+x1

1-x1

•

1+x2

1-x2

)
=ln

1+x1x2+x1+x2

1+x1x2-x1-x2

=ln

1+ x1+x2 1+x1x2

1- x1+x2 1+x1x2

=f（

x1+x2

1+x1x2

），
∴f（x₁）+f（x₂）=f（

x1+x2

1+x1x2

）．
（2）解：∵a，b∈（-1，1），且f（

a+b

1+ab

）=1，f（-b）=

1

2

，
∴f（b）=-

1

2

，
f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）=1，
∴f（a）=1-f（b）=1+

1

2

=

3

2

．

点评：本题考查等式的证明，考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意对数运算法则的合理运用．