Question

【题目】如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）证明：AE⊥平面ECD；

（2）求点C1到平面AEC的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由四边形ABCD是矩形，得到CD⊥AD，再由面面垂直的性质，证得CD⊥AE，结合线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥平面ECD.；

（2）连接CD1，得到点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离， 利用“等体积法”，结合V，即可求得点C1到平面AEC的距离.

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴AA1⊥CD，

又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AE，

∵四边形ADD1A1是平行四边形，∴E是A1D的中点，

∵AA1＝AD，∴AE⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AE⊥平面ECD.

（2）连接CD1，则点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离，

在△ACD1中，AC＝2，AD1＝4，CD1＝2，

∴CE⊥AD1，且CE2，

∴S4，

设C1到平面ACD1的距离为h，则V，

又V，

所以4h＝16，即h，∴点C1到平面AEC的距离为.