题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在与函数,
的图象都相切的直线,求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
(1)求的定义域,导数,利用二次函数的性质分类讨论导数的正负,从而求出
的单调性. (2)函数
的图象上点
与函数
的图象上点
处切线相同,利用导数求切线的斜率建立关系式,求出导数和单调区间以及最值,运用单调性计算可求出
的范围.
(1)函数的定义域为
,
.
,
所以当即
时,
,
在
上单调递增;
当,即
或
时,
方程的根为
,
.
当时,有
,
,
在
上单调递增;
当时,有
.
+ | - | + | |
增 | 减 | 增 |
综上:当时,
在
上单调递增,
当时,
在
,
上单调递增,
在上单调递减.
(2)设函数的图象上点
与函数
的图象上点
处切线相同,
则,
即,
由得
①
由,
得 ②
由①②得:,
设
问题转化为在
有解,
则,
不妨设,
则当时,
,当
时,
,
∴在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
∴是
的最小值.
只需,即
③
而,故
代入③式,得
,
令,易得
,
,则
在
递增.
故的解集是(0,1],即
.
由,得
.
即实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度
对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量
满足关系式
,其中玻璃的热传导系数
焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数
焦耳/(厘米·度),
为室内外温度差,
值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号 | 每层玻璃厚度 | 玻璃间夹空气层厚度 |
| 0.4 | 3 |
| 0.3 | 4 |
| 0.5 | 3 |
| 0.4 | 4 |
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
A.型B.
型C.
型D.
型