题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
是
的中点,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)异面直线和
所成角的余弦值为
,求几何体
的体积.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)2
【解析】
(Ⅰ)连结交
于点
,连结
,证出
,利用线面平行的判定定理即可证出.
(Ⅱ)根据题意可求出,在
中,利用余弦定理求出
,由
结合三棱锥的体积公式即可求解.
(Ⅰ)如图,连结交
于点
,连结
,
因为在直三棱柱中,四边形
是矩形,
所以点是
的中点,
因为是
的中点,
所以.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)因为棱柱是直三棱柱,
所以,
因为,
,
所以,
因为异面直线和
所成角的余弦值为
.
所以,
因为,
,
所以.
根据余弦定理,在中,
,
可得,
因为,
,所以由勾股定理可得
,
因为,
,
,
所以平面
,
同理平面
,
所以
.
所以几何体的体积为2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度
对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量
满足关系式
,其中玻璃的热传导系数
焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数
焦耳/(厘米·度),
为室内外温度差,
值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型号 | 每层玻璃厚度 | 玻璃间夹空气层厚度 |
| 0.4 | 3 |
| 0.3 | 4 |
| 0.5 | 3 |
| 0.4 | 4 |
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
A.型B.
型C.
型D.
型
【题目】从年底开始,非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前,蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚,并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大,主要危害禾本科植物,能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数
和平均温度
有关,现收集了以往某地的
组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 | |||||||
平均产卵数 |
表中,
.
(1)根据散点图判断,与
(其中
为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数
关于平均温度
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出
关于
的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到
以上的概率为
.
①记该地今后年中,恰好需要
次人工防治的概率为
,求
取得最大值时相应的概率
;
②根据①中的结论,当取最大值时,记该地今后
年中,需要人工防治的次数为
,求
的数学期望和方差.
附:对于一组数据、
、
、
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
,
.