Question

已知函数f（x）=

1

|x-a|

+x²，（常数a∈R）．
（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a=0，且t是正实数，函数f（x）在区间[t，+∞） 上单调递增，试根据函数单调性的定义求出t的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求f（x）的定义域，{x|x≠a}，a=0时，显然f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；
（2）x＞0时，f（x）=

1

x

+x2，根据单调性的定义，设任意x₁，x₂∈[t，+∞），且x₁＜x₂则f（x₁）-f（x₂）＜0，从而可得到1＜x₁x₂（x₁+x₂）在[t，+∞）上恒成立．而可以求得x1x2(x1+x2)＞2t3，所以便有1≤2t³，解该不等式即得t的取值范围．

解答： 解：（1）定义域为{x|x≠a}；
①当a=0时，f（x）=

1

|x|

+x2，f（-x）=

1

|x|

+x2=f(x)；
所以f（x）为偶函数；
②当a≠0时，定义域不关于原点对称；
所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）x＞0时，f(x)=

1

x

+x2，此时f（x）在[t，+∞）（t＞0）上单调递增；
∴任取0＜t≤x₁＜x₂，有：
f(x1)-f(x2)=

1

x1

+x12-

1

x2

-x22=(x2-x1)•

1-x1x2(x1+x2)

x1x2

＜0；
所以1-x₁x₂（x₁+x₂）＜0 恒成立，即1＜x₁x₂（x₁+x₂）；
∵x1x2＞t2＞0，x₁+x₂＞2t＞0；
∴x1x2(x1+x2)＞2t3；
所以2t³≥1，即t≥

3	1 2

；
∴t的取值范围为[

3	1 2

，+∞)．

点评：考查函数奇偶性的定义，以及奇偶函数定义域的特点，以及函数单调性定义的运用．