Question

设圆满足条件：①截y轴所得的弦长为2；②圆心到直线l：x-2y=0的距离为

5

5

；③被x轴分成的两段圆弧，其弧长的比为3：1．
（1）求这个圆的方程
（2）若上述圆的圆心在第一象限，过（-1，3）点的一条光线射到x轴反射后恰好与上述圆相切，求入射光线所在的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）设圆的圆心C（a，b），半径为r，则由题意可得

a2+1=r2 r2=2b2 |a-2b| 5 = 5 5

，求得a、b、r的值，可得要求的圆的方程．
（2）设入射光线的斜率为k，根据入射线过点（-1，3）可得入射线的方程．再根据反射定律求得反射线的方程，再根据反射线和圆（x-1）²+（y-1）²=2相切，求得k的值，可得入射线的方程．

解答： 解：（1）设圆的圆心C（a，b），半径为r，则由题意可得

a2+1=r2 r2=2b2 |a-2b| 5 = 5 5

，
求得a=b=1，r=

2

，或a=b=-1，r=

2

，
故要求的圆的方程为 （x-1）²+（y-1）²=2，或 （x+1）²+（y+1）²=2．
（2）圆心在第一象限的圆为 （x-1）²+（y-1）²=2，设入射光线的斜率为k，则反射线的斜率为-k，且入射项过点（-1，3），
故入射线的方程为 y-3=k（x+1），即 kx-y+3+k=0．
再根据点（-1，3）关于x轴的对称点（-1，-3）在反射线上，且反射线的斜率为-k，
故反射线的方程为y+3=-k（x+1），即 kx+y+3+k=0．
再根据反射线和圆 （x-1）²+（y-1）²=2相切，可得

|k+1+3+k|

k2+1

=

2

，
求得k=-1，或k=-7，∴入射线的方程为x-y-2=0，或7x-y+4=0．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，反射定理，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．