题目内容
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+
bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
| 3 |
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A=30°．再利用两角和差的正弦公式求得2sinBcosC-sin（B-C）的值．
（2）由a=2，A=30°，利用正弦定理求得△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC，再利用和差化积公式化为8sin75°cos
，从而求得△ABC周长a+b+c的最大值．
（2）由a=2，A=30°，利用正弦定理求得△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC，再利用和差化积公式化为8sin75°cos
| B-C |
| 2 |
解答：
解：（1）△ABC中，由b2+c2=a2+
bc，可得cosA=
=
，∴A=30°．
∴2sinBcosC-sin（B-C）=2sinBcosC-sinBcosC+cosBsinC
=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=sin30°=
．
（2）∵a=2，A=30°，由正弦定理可得
=
=
=
=4，
故△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC=2+4×2sin
cos
=2+8sin75°cos
．
故当B=C时，8sin75°cos
取得最大值为8sin75°=8sin（45°+30°）
=8（sin45°cos30°+cos45°sin30°）=2（
+
），
△ABC周长为 a+b+c取得最大值为 2+2（
+
）．
| 3 |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| ||
| 2 |
∴2sinBcosC-sin（B-C）=2sinBcosC-sinBcosC+cosBsinC
=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=sin30°=
| 1 |
| 2 |
（2）∵a=2，A=30°，由正弦定理可得
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| 2 |
| sin30° |
故△ABC周长为 a+b+c=2+4sinB+4sinC=2+4×2sin
| B+C |
| 2 |
| B-C |
| 2 |
| B-C |
| 2 |
故当B=C时，8sin75°cos
| B-C |
| 2 |
=8（sin45°cos30°+cos45°sin30°）=2（
| 6 |
| 2 |
△ABC周长为 a+b+c取得最大值为 2+2（
| 6 |
| 2 |
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．
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