Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

|AB|

|MN|

的最小值为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  2 3

  3

• C、1
• D、

  3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，再根据基本不等式，求得|AB|²的取值范围，代入

|AB|2

|MN|2

化简即可得到答案．

解答： 解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
因为ab≤(

a+b

2

)2，
则（a+b）²-ab≥（a+b）²-(

a+b

2

)2=

3

4

（a+b）²，即|AB|²≥

3

4

（a+b）²，
所以

|AB|2

|MN|2

≥

3 4 (a+b)2

1 4 (a+b)2

=3，
则

|AB|

|MN|

≥

3

，即所求的最小值是

3

，
故选：D．

点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．