Question

若2x-3y+z=3，则x²+（y-1）²+z²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：利用题目条件得出柯西不等式的条件：（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²，代入求解即可．

解答： 解：∵2x-3y+z=3，
∴2x-3（y-1）+z=6，
∵2²+（-3）²+1²=14，
根据柯西不等式求解：
∴14×（x²+（y-1）²+z²）=（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²=36，
∴x²+（y-1）²+z²≥

36

14

=

18

7

，
故答案为：

18

7

点评：本题考查柯西不等式，关键是利用：（2²+（-3）²+1²）（x²+（y-1）²+z²）≥（2x-3（y-1）+z）²，属于中档题．