题目内容
已知过定点M（0，4）的直线l与⊙C：（x+1）2+（y-3）2=4交于A、B两点．
（1）当弦AB最短时，求直线l的方程；
（2）若|
+
|=|
-
|，求直线l的方程．
（1）当弦AB最短时，求直线l的方程；
（2）若|
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
考点：直线和圆的方程的应用
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）由题意得，点在圆的内部，故当弦AB和点M（0，4）与圆心C（-1，3）的连线垂直时，弦AB最短，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式；
（2）确定
⊥
，C到直线AB的距离为
，再分类讨论，即可求直线l的方程．
（2）确定
| CA |
| CB |
| 2 |
解答：
解：（1）由题意，定点M（0，4）在圆C：（x+1）2+（y-3）2=4的内部，
故当弦AB和点M（0，4）与圆心C（-1，3）的连线垂直时，弦AB最短．
∵kCM=
=1，
∴弦AB的斜率为-1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y-4=-1（x-0），
即x+y-3=0；
（2）∵|
+
|=|
-
|，
∴
⊥
，
∴C到直线AB的距离为
，
斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，
∴C到直线AB的距离为
=
，
∴k=-1，∴直线l的方程为x+y-4=0；
斜率不存在时，直线l的方程为x=0满足题意，
∴直线l的方程为x=0或x+y-4=0．
故当弦AB和点M（0，4）与圆心C（-1，3）的连线垂直时，弦AB最短．
∵kCM=
| 3-4 |
| -1-0 |
∴弦AB的斜率为-1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y-4=-1（x-0），
即x+y-3=0；
（2）∵|
| CA |
| CB |
| CA |
| CB |
∴
| CA |
| CB |
∴C到直线AB的距离为
| 2 |
斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，
∴C到直线AB的距离为
| |-k+1| | ||
|
| 2 |
∴k=-1，∴直线l的方程为x+y-4=0；
斜率不存在时，直线l的方程为x=0满足题意，
∴直线l的方程为x=0或x+y-4=0．
点评：本题考查点与圆的位置关系的判断，以及用点斜式求直线的方程，考查向量知识及点到直线的距离公式，属于中档题．
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| ||
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