Question

已知二次函数f（x）为偶函数，且f（0）=-1，f[f（-2）]=8
（1）求f（x）；
（2）设g（x）=ax-2，A=[-2，2]，且对于任意x₁∈A总存在x₂∈A，使f（x₁）=g（x₂），求a的取值范围；
（3）对任意x∈[

3

2

，+∞），f（

x

m

）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m），恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）待定系数法；
（2）说明函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，据此构造出关于a的不等式组；
（3）先化简原函数，分离参数m，转化为函数额最值问题来解．

解答： 解（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），因为f（x）为偶函数，且f（0）=-1，
所以b=0．c=-1，故此时f（x）=ax²-1，因为f[f（-2）]=8，所以16a³-8a²+a-9=0，
即（a-1）（16a²+8a+9）=0，显然a=1，或16a²+8a+9=0无实数根，所以a=1．
所以f（x）=x²-1．
（2）设g（x）=ax-2，x∈[-2，2]值域为M，f（x）=x²-1，x∈[-2，2]的值域为N．
由题意，要使且对于任意x₁∈A总存在x₂∈A，使f（x₁）=g（x₂），只需N⊆M．
结合二次函数的图象可知，N=[-1，3]
当a=0时，g（x）=-2，显然不符合题意，故a≠0，则函数g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
所以要使N⊆M，只需

-2a-2≤-1 2a-2≥3

或

2a-2≤-1 -2a-2≥3

成立，
解得a≥

5

2

或a≤-

5

2

．故所求的a的范围是（-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞）．
（3）依据题意得

x2

m2

-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)恒成立，
即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在x∈[

3

2

，+∞)上恒成立，
对函数y=-

3

x2

-

2

x

+1=-3(

1

x

+

1

3

)2+

4

3

，

1

x

∈(0，

2

3

]，当

1

x

=

2

3

时有最小值-

5

3

，
所以只需

1

m2

-4m2≤-

5

3

，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

．

点评：这道题考查了待定系数法求解析式，以及利用函数思想求解而不等式恒成立问题的思路．