Question

直线y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的左支只有一个公共点，则k的取值为（　　）

• A、（-1，1]
• B、k=

  2

• C、[-1，1]
• D、（-1，1]∪{

  2

  }

Answer 1

考点：双曲线的应用,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把直线方程代入双曲线方程，转化为求一元二次方程恰有一负根，或方程有一正根，一负根的情况，然后分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：已知直线y=kx+1①与双曲线C：x²-y²=1②的左支只有一个公共点，即可得到交点的横坐标小于0．
把方程①代入②，整理得方程（1-k²）x²-2kx-2=0③恰有一负根，或方程有一正根，一负根．
恰有一负根：（1）当k=1时，方程③变为-2x-2=0，得x=-1，成立．
（2）当k=-1时，方程③变为2x-2=0，x=1，不成立舍去．
（3）当k≠-1或k≠1时△=4k²+8（1-k²）=0，k=±

2

，k=

2

时，x=-

2

符合；
一正根，一负根：-

2

1-k2

＜0，∴-1＜k＜1
综上k∈（-1，1]∪{

2

）．
故选：D．

点评：本题考查直线与圆锥曲线交点的问题，题中涉及到求一元二次方程有一个根的求法，用到分类讨论思想和求判别式的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．