Question

已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n＞2），令T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，card（T_A）表示集合T_A中元素的个数．关于card（T_A）有下列四个命题：
①card（T_A）的最大值为

1

2

n²；
②card（T_A）的最大值为

1

2

n（n-1）；
③card（T_A）的最小值为2n；
④card（T_A）的最小值为2n-3．
其中，正确的是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值

专题：集合

分析：当集合A中任意两个元素的和不等时，card（T_A）有最大值，当a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数）时，card（T_A）有最小值，由此求出card（T_A）的最大值和最小值判断四个命题得答案．

解答： 解：∵A={a₁，a₂，…a_n}，且T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，
∴当集合A中任意两个元素的和不等时，card（T_A）有最大值为

C

2 n

=

1

2

n(n-1)；
当a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数）时，card（T_A）有最小值，
说明数列a₁，a₂，…，a_n，构成等差数列，
取特殊的等差数列进行计算，
取A={1，2，3，…，n}，则T_A={3，4，5，…，2n-1}，
由于（2n-1）-3+1=2n-3，
∴T_A中共2n-3个元素，
利用类比推理可得，
若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数），则card（T_A）=2n-3．
∴正确的命题是②④．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了集合中元素个数的最值求法，关键是对题意的理解，是中档题．