Question

若不等式（2a-b-c）（a-c）（1+cosθ）≥（a-b）（b-c）[t（cosθ+1）+sinθ]，对任意a＞b＞c及θ∈[0，

π

2

]恒成立，则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由a＞b＞c可判断2a-b-c＞0，a-c＞0，a-b＞0，b-c＞0；从而化简不等式为（1+cosθ）≥t（cosθ+1）+sinθ；从而可得t≤1-

sinθ

1+cosθ

，从而化为1-

sinθ

1+cosθ

的最值问题．

解答： 解：∵a＞b＞c，
∴2a-b-c＞0，a-c＞0，a-b＞0，b-c＞0；
则不等式（2a-b-c）（a-c）（1+cosθ）≥（a-b）（b-c）[t（cosθ+1）+sinθ]可化为

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

≥

t(cosθ+1)+sinθ

1+cosθ

；
∵

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

=

(2(a-b)+(b-c))((a-b)+(b-c))

(a-b)(b-c)

=

2(a-b)2+3(a-b)(b-c)+(b-c)2

(a-b)(b-c)

=2

(a-b)

b-c

+

b-c

a-b

+3
≥3+2

2

；
（当且仅当2

(a-b)

b-c

=

b-c

a-b

，即（b-c）²=2（a-b）²时，等号成立）；
故不等式可化为
3+2

2

≥

t(cosθ+1)+sinθ

1+cosθ

=t+

sinθ

cosθ+1

；
即t≤3+2

2

-

sinθ

cosθ+1

；
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴0≤

sinθ

1+cosθ

≤1；
故2+2

2

≤3+2

2

-

sinθ

1+cosθ

≤3+2

2

；
故t≤2+2

2

；
故答案为：t≤2+2

2

．

点评：本题考查了不等式的性质应用及恒成立问题，属于中档题．