Question

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这50名学生百米测试成绩的平均数

.

x

和方差s²．
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率．

Answer 1

考点：频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图先估算出这50名学生百米测试成绩的平均数

.

x

，进而根据方差公式，计算出答案．
（2）由频率分布直方图得到成绩在[13，14）和[17，18]内的频率，然后用50分别乘以两组的频率可得第一、五组中的学生数，分别设出两组中的学生的成绩，然后用枚举法写出从第一、五组中随机取出两个成绩的总的取法种数N，找出取出的两个成绩的差的绝对值大于1的取法种数n，则从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1的概率P=

n

N

．

解答： 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06×1=3（人），
成绩在[14，15）的人数为50×0.16×1=8（人），
成绩在[15，16）的人数为50×0.38×1=19（人），
成绩在[16，17）的人数为50×0.32×1=16（人），
成绩在[17，18]的人数为50×0.08×1=4（人），
故这50名学生百米测试成绩的平均数

.

x

=

1

50

（13.5×3+14.5×8+15.5×19+16.5×16+17.5×4）=15.7；
方差s²=

1

50

[（13.5-15.7）²×3+（14.5-15.7）²×8+（15.5-15.7）²×19+（16.5-15.7）²×16+（17.5-15.7）²×4]=1
（2）并设第一组三人的成绩分别为x、y、z；
第五组四人的成绩分别为A、B、C、D；
则从第一、五组中随机取出两个成绩的总的取法种数为：
xy，xz，yz，AB，AC，AD，BC，BD，CD，xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共21（种）．
取出的两个成绩的差的绝对值大于1的取法种数为：
xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共12（种）．
则从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1的概率为P=

12

21

=

4

7

．

点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的两个关键点是：一、明确频率分布直方图中纵轴的单位；二、古典概型及其概率的计算．解答（2）时除了枚举法之外，也可运用排列组合知识求解．此题属中低档题．