Question

已知有相同焦点F₁、F₂的椭圆

x2

m

+y²=1（m＞1）和双曲线

x2

n

-y²=1（n＞0），点P是它们的一个交点，则三角形F₁PF₂面积的大小是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．

解答： 解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由双曲线和椭圆的定义可得

s+t=2 m s-t=2 n

，
解得s²+t²=2m+2n，st=m-n．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

s2+t2-4c2

2st

=

2m+2n-4(m-1)

2m-2n

∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面积为

1

2

st=1．
故答案为：1．

点评：本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．