Question

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数，对于下列命题：
①函数f（x）满足f（x+4）=f（x）；
②函数f（x）图象关于点（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）；
⑤f（2009）=0．
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：①利用函数的定义判断．②利用点对称的性质判断．③利用轴对称去判断．④利用函数的周期性和对称性判断．⑤利用周期性和对称性将f（2009）进行转换求值．

解答： 解：①对
因为f（x+2）+f（x）=0
得f（x+2）=-f（x）
即f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
②对
函数f（x+1）为奇函数，即函数f（x）向左平移一个单位以后关于（0，0）对称，
∴平移之前的图象应该关于（1，0）对称，故②正确；
③对
由f（x+2）=-f（x）
得f（x+1+2）=-f（x+1）
又由f（-x+1）=-f（x+1）
知f（x+1+2）=f（-x+1）
即f（x+3）=f（-x+1）
故函数f（x）有对称轴x=2
即f（x）的图象关于直线x=2对称
④不对
对于f（x+2）+f（x）=0，因为是奇函数，
所以f（0）=0，也就是 f（2）=-f（0）=0，
因为函数的单调性没有给出，所以无法确定函数的最大值，即④错误．
⑤对
由①知
f（2009）
=f（502×4+1）
=f（1）
又由②知F（x）=f（x+1）
令x=0，则F（0）=f（0+1）=0
即f（1）=0
即f（2009）=0

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，综合性较强，属于中档题．