Question

如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°
（1）求证：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁
（2）若D₁D=BD，求点D到平面A₁BCD₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先利用勾股定理和余弦定理求出相关的线线垂直，进一步利用线面的垂直的判定和性质
转换为面面垂直的判定，从而证明结论．
（1）利用（1）的结论，进一步利用等面积法求的结果．

解答： 证明：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中
D₁D⊥底面ABCD，DD₁⊥A₁D₁
AD=1，CD=2，∠DCB=60°利用余弦定理得：BD=

3

△BDC为直角三角形
BD⊥BC
AD⊥BD
∴A₁D₁⊥B₁D₁
所以A₁D₁⊥平面BDD₁B₁  A₁D₁?平面A₁BCD₁
所以：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁
（2）解：连BD₁，作DM⊥BD₁
由（1）知
平面A₁BCD₁平面BDD₁B₁∵平面A₁BCD₁∩平面BDD₁B₁=BD₁∴DM⊥平面A₁BCD₁
由已知BD=

3

∴DD1=

3

∵D₁D⊥底面ABCD
∴DD₁⊥BD∴BD1=

6

∴

1

2

×

3

×

3

=

1

2

×DM×

6

∴DM=

6

2

点评：本题考查的知识点：勾股定理得逆定理，余弦定理，线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定以及等面积法的应用．