Question

某基金管理公司管理着一只开放式基金，用x_n表示该基金在第n年初的总资产，该基金相对于年初的总资产来说，年投资收益率为a，在第n年内，该基金持有人赎回该基金的资金与x_n成正比，投资者购买该基金的资金与x_n成反比，比例系数依次为正常数b、c（赎回后该基金的资产相应减少，购买后该基金的资产相应增加）．该基金每年向管理公司交纳管理费，向基金持有人分红的红利和其他开支合计为正常数d．
（1）求x_n+1和x_n的关系式；
（2）若x₁取一个恰当的值时可使该基金每年年初的总资产保持不变，试写出a、b、c、d应满足的关系．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据在第n年内，该基金持有人赎回该基金的资金与x_n成正比，投资者购买该基金的资金与x_n成反比，比例系数依次为正常数b、c（赎回后该基金的资产相应减少，购买后该基金的资产相应增加）．该基金每年向管理公司交纳管理费，向基金持有人分红的红利和其他开支合计为正常数d，可得x_n+1和x_n的关系式；
（2）令x_n+1=x_n，则可得（a-b）x_n²-dx_n+c=0，再分类讨论，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，x_n+1=（1+a）x_n-bx_n+

c

xn

-d；
（2）令x_n+1=x_n，则可得（a-b）x_n²-dx_n+c=0，
由题意，方程有正实数根．
当a-b=0时，方程有正实数根

c

d

；
当a-b＜0时，因为

c

a-b

＜0，所以方程有一正实数根和一负实数根；
当a-b＞0时，因为

c

a-b

＞0，

d

a-b

＞0，要使方程有正实数根，则△=d²-4（a-b）c≥0，
∴a、b、c、d应满足的关系：d²-4（a-b）c≥0．

点评：本题是对数列、方程等知识的综合考查，在作数列方面的应用题时，一定要认真真审题，仔细解答，避免错误．