Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$P（2，\sqrt{2}）$，一个焦点F的坐标为（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义求出2a的值，得a、c与b²，从而写出椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y得关于x的一元二次方程；
由判别式△和根与系数的关系，求出x₁x₂、y₁y₂的值，再求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）根据椭圆的定义，
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{{（2+2）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$，
又c=2，∴b²=a²-c²=${（2\sqrt{2}）}^{2}$-2²=4，
∴所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+2k²）x²+4kx-6=0；
又△=16k²+24（1+2k²）=64k²+24＞0，解得k∈R；
由根与系数的关系得${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$；
∴${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=\frac{{-6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+1=\frac{{1-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}+\frac{{1-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{-8{k^2}-5}}{{1+2{k^2}}}=-4-\frac{1}{{1+2{k^2}}}$；
又-1≤-$\frac{1}{1+{2k}^{2}}$＜0，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-5，-4）．

点评 本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了根与系数的关系与平面向量数量积的应用问题，是中档题．