Question

15．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+2cos²x+k的最小值为-3
（1）求常数k的值；
（2）若f（x₀）=-$\frac{7}{5}$，x₀∈[0，$\frac{π}{4}$]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用 两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再根据函数的最小值为-3，求得k的值．
（2）由题意求得sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）的值，利用两角和差的三角公式求得cos2x₀的值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+2×\frac{1+cos2x}{2}+k$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1+k=sin（2x+\frac{π}{6}）+1+k$，
∴f（x）min=-1+1+k=-3，解得k=-3．        
（2）∵$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）-2$，∴$f（{x_0}）=sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）-2=-\frac{7}{5}$，即$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}$．
∵${x_0}∈[0\;，\;\;\frac{π}{4}]$，∴$2{x_0}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{2π}{3}]$．
∵若$2{x_0}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{2}]$，则$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
若$2{x_0}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{2π}{3}]$，则$sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，
显然$\frac{3}{5}∈[{\frac{1}{2}，1}]$，且$\frac{3}{5}∉[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，∴$2{x_0}+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{2}]$．
∴$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（2{x_0}+\frac{π}{6}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴$cos2{x_0}=cos[{（2{x_0}+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}}]$=$cos（2{x_0}+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}+sin（2{x_0}+\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．