Question

18．已知$|{\overrightarrow{OA}}|=1$，$|{\overrightarrow{OB}}|=\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为90°，点C在AB上，且∠AOC=30°．设$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 可得，∠COB=60°，OC⊥AB，△AOC，△BOC都是直角三角形，则 OC=OAsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在方程$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$两边同乘以向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$得$\left\{\begin{array}{l}{1×\frac{\sqrt{3}}{2}×cos3{0}^{0}=m×1+0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}×cos6{0}^{0}=0+3n}\end{array}\right.$，可得$\frac{m}{n}$的值为3．

解答 解：$|{\overrightarrow{OA}}|=1$，$|{\overrightarrow{OB}}|=\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为90°，点C在AB上，且∠AOC=30°，
∴在直角三角形ABC中，B=30°，∠COB=60°，∴OC⊥AB，
 则△AOC，△BOC都是直角三角形，
则 OC=OAsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在方程$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$两边同乘以向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1×\frac{\sqrt{3}}{2}×cos3{0}^{0}=m×1+0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}×cos6{0}^{0}=0+3n}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，∴$\frac{m}{n}$的值为3．

点评 本题考查了向量的数量积运算、线性运算，考查了转化思想，属于中档题．