Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为${S_n}=3{n^2}+8n$，{b_n}为等差数列，且b₁=4，b₃=10，则数列$\left\{{\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}}\right\}$的前n项和T_n=n×2ⁿ⁺²．

Answer 1

分析 推导出a_n=6n+5，b_n=3n+1，从而$\frac{（{a}_{n}+1）^{n+1}}{3（{b}_{n}+2）^{n}}$=$\frac{（6n+6）^{n+1}}{3（3n+3）^{n}}$=（n+1）•2ⁿ⁺¹，由此利用错位相减法能求出数列$\left\{{\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}}\right\}$的前n项和．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为${S_n}=3{n^2}+8n$，
∴a₁=S₁=3+8=11，
a_n=S_n-S_n-1=（3n²+8n）-[3（n-1）²+8（n-1）]=6n+5，
n=1时，上式成立，
∴a_n=6n+5．
∵{b_n}为等差数列，且b₁=4，b₃=10，
∴b₃=4+2d=10，解得d=3，
∴b_n=4+（n-1）×3=3n+1，
∴$\frac{（{a}_{n}+1）^{n+1}}{3（{b}_{n}+2）^{n}}$=$\frac{（6n+6）^{n+1}}{3（3n+3）^{n}}$=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴数列$\left\{{\frac{{{{（{a_n}+1）}^{n+1}}}}{{3{{（{b_n}+2）}^n}}}}\right\}$的前n项和：
T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹，①
2T_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+（n+1）×2ⁿ⁺²，②
①-②，得：
-T_n=8+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）×2ⁿ⁺²
=8+$\frac{8（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）×2ⁿ⁺²
=-n×2ⁿ⁺²．
∴T_n=n×2ⁿ⁺²．
故答案为：n×2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．