Question

（Ⅰ）已知x∈R，a=x²+

1

2

，b=2-x，c=x2-x+1，试证明a，b，c中至少有一个不小于1．
（Ⅱ）用分析法证明：若a＞0，则

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,分析法,反证法

分析：（I）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立；
（Ⅱ）分析使不等式

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答： 证明：（I）假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3
而a+b+c=2x²-2x+

1

2

+3=2（x-

1

2

）²+3≥3，
两者矛盾；
故a，b，c至少有一个不小于1．------------（6分）
（ II）要证：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证：（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²
只需证：

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），

只需证：a2+

1

a2

≥

1

2

（a2+

1

a2

+2）
即证：a2+

1

a2

≥2，它显然成立，
∴原不等式成立．---------------（12分）

点评：本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定；考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．