Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0）；从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x），从而求导确定函数的最值，从而由最值确定a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，（x＞0）；
①当0＜a＜

1

2

时，

1

a

＞2，增区间是（0，2）和（

1

a

，+∞），减区间是（2，

1

a

）．
②当a=

1

2

时，f′（x）=

(x-2)2

2x

，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
③当a＞

1

2

时，0＜

1

a

＜2，增区间是（0，

1

a

）和（2，+∞），减区间是（

1

a

，2）．
（2）由已知，在（0，2]上有f_max（x）＜g_max（x）．
由已知，g_max（x）=0，
当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，在区间（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上单调递增，
结合（1）可知：
①当a≤

1

2

时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f_max（x）=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，故ln2-1＜a≤

1

2

．
②当a＞

1

2

时，f（x）在（0，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，2]上单调递减，
故f_max（x）=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f_max（x）＜0，
综上所述，a＞ln2-1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．