Question

已知函数f（x）=e^x-ax²+bx+c（a，b，c∈R，e=2.718…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1．
（Ⅰ）求b与c的值；
（Ⅱ）当a＞0时，若方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，求a的值；
（Ⅲ）当a=2时，证明：函数f（x）在[0，3]上有且仅有两个极值点，并求f（x）在[0，3]是的最大值．
（参考数据：e²≈7.39，e³≈20.09，e⁴≈54.60）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的定义，在某点的导函数值即为函数在该点处切线的斜率，列出方程解出b，c；
（2）利用等价转化思想，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，等价于方程a=

ex

x2

在（0，+∞）有唯一的实数解，构造函数g（x）=

ex

x2

，x∈（0，+∞），求出单调性，利用数形结合，求出a的值；
（3）利用导数求出f（x）在[0，3]上的单调区间，即能证明仅有两个极值点，和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-2ax+b，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1，
∴

f(0)=1 f′(0)=1

即

e0+c=1 e0+b=1

，解得

b=0 c=0

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=e^x-ax²，
当a＞0时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解，
等价于方程a=

ex

x2

在（0，+∞）有唯一的实数解，
设g（x）=

ex

x2

，x∈（0，+∞）
则g′（x）=

x2ex-2xex

x4

=

ex(x-2)

x3

∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，x＞2时，g′（x）＞0
∴函数g（x）=

ex

x2

在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=

e2

4

，
 
当x＞0且x→0时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞
∴当a=

e2

4

时，方程f（x）=0在（0，+∞）有唯一的实数解；
（Ⅲ）当a=2时，f（x）=ee^x-2x²，x∈[0，3]
设h（x）=f′（x）=e^x-4x，则h′（x）=e^x-4，x∈[0，3]
因为h′（x）在[0，3]上是增函数，令h′（x）=e^x-4=0，得x₀=ln4
∴x∈（0，ln4）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（ln4，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
f′（x）_min=h（x）_min=h（ln4）=e^ln4-4ln4=4-4ln4＜0
且f′（0）=h（0）=1＞0，f′（3）=h（3）=e³-12＞0
∴存在x₁，x₂，x₁∈（0，ln4），x₂∈（ln4，3），使f′（x₁）=0，f′（x₂）=0
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（x₂，3），f′（x）＞0，f（x）单调递减，
∴函数y=f（x）在[0，3]上有且仅有两个极值点，
∴函数y=f（x）在[0，3]上的最大值为f（x₁）和f（3）的较大者
f（3）=e³-18＞2，∵f′(x1)=ex1-4x1=0
f（x₁）=ex1-2x12=4x₁-2x₁²=-2（x₁-1）²+2≤2
故最大值为f（3）=e³-18．

点评：本题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查运算能力、推理论证能力，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．属于中档题．