Question

若函数f（x）=

x

ax+b

（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）=x的方程有唯一解，整理成x一元二次方程，求得a和b的关系，
再根据f（2）=1求得a和b的值，从而得出函数f（x）的解析式．

解答： 解：根据题意，
∵f（2）=1，∴

2

2a+b

=1，
化简得2a+b=2①；
又∵f（x）=x有唯一解，
即

x

ax+b

=x有唯一解，
∴方程ax²+（b-1）x=0（其中x≠-

b

a

）有唯一解，
或b=0（b=0时，方程有唯一解x=1）③；
∴△=（b-1）²=0，
∴b=1②；
由①②得a=

1

2

、b=1；
由①③得a=1、b=0；
此时方程有唯一的解，
∴f（x）=

2x

x+2

或1．
故答案为：

2x

x+2

或1．

点评：本题考查了函数与方程的综合运用问题，解题时应根据方程根与判别式的情况进行解答，是综合题．