Question

F₁、F₂是椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点，过点F₂作AB⊥x轴交椭圆于A、B两点，若△F₁AB为等腰直角三角形，且∠AF₁B=90°，则椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于AF₂⊥x轴，可得AA（c，

b2

a

）．．由于△F₁AB为等腰直角三角形，可得|F₁F₂|=|AF₂|，于是2c=

b2

a

，再利用b²=a²-c²，即可得出椭圆的离心率．

解答： 解：∵AF₂⊥x轴，∴A（c，

b2

a

）．
∵△F₁AB为等腰直角三角形，∴|F₁F₂|=|AF₂|，
∴2c=

b2

a

，∴2ac=b²=a²-c²，
∴2e=1-e²，
化为e²+2e-1=0，（e＞0）．
解得e=

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查了椭圆的坐标方程及其性质、等腰直角三角形等基础知识与基本技能方法，属于基础题．