Question

设x，y∈R，

i

，

j

分别为直角坐标系中与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设抛物线y=-

x2

12

+3的顶点为P，焦点为F．直线l过点P与曲线C交于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得以AB为直径的圆过点F，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，从而动点的轨迹方程为以两定点（0，-2）和（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出点M（x，y）的轨迹C的方程．
（2）因抛物线方程为：x²=-12（y-3），故P（0，3），F（0，0）．设直线l方程为：y=kx+3，由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，得（4+3k²）x²+18kx-21=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出直线方程．

解答： 解：（1）∵向量

a

=x

i

+（y+2）

i

，

b

=x

i

+（y-2）

i

，|

a

|+|

b

|=8，
则

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，
由两点间的距离公式得：
即动点M（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离之和为定值8，
∵8＞4，∴点M（x，y）的轨迹方程为以两定点（0，-2）和（0，2）为焦点，
长轴长为8的椭圆，
∴点M（x，y）的轨迹C的方程为

y2

16

+

x2

12

=1．
（2）因抛物线方程为：x²=-12（y-3），故P（0，3），F（0，0）．
当直线l⊥x轴时，不合题意．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=kx+3，
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

，得（4+3k²）x²+18kx-21=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△＞0恒成立，
x1+x2=-

18k2

3k2+4

，x1x2=-

21

3k2+4

，
又∵FA⊥FB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²=

5

16

，解得k=±

5

4

，
故所求的直线方程为：y=±

5

4

x+3．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆定义和性质的灵活运用．