Question

11．已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．
（1）当n=-2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；
（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x²=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程．
（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可．

解答 解：（1）设M的方程为x²+（y-b）²=r²，
（1，1）代入，可得1+（1-b）²=r²，①
∵直线l与圆M相切，∴$\frac{|-b-2|}{\sqrt{5}}$=r，②
由①②可得b=3或$\frac{1}{2}$，
∴M的方程为x²+（y-3）²=5，或x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，
（2）因为直线l的方程为y=2x+n
所以直线l′的方程为y=-2x+n．
与抛物线联立得x²+12x-6n=0．
△=144+24n
①当n=-6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（-6，6）
②当n≠-6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．