Question

20．已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且${a_n}=\sqrt{{S_{2n-1}}}（{n∈{N^*}}）$．若不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{n+8}{n}$对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的最大值为25．

Answer 1

分析 推导出a_n=1+（n-1）×2=2n-1，不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{n+8}{n}$对任意n∈N^*恒成立，等价于$\frac{λ}{2（n+1）-1}$$≤\frac{n+8}{n}$对任意n∈N^*恒成立，由此利用均值定理能求出实数λ的最大值．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且${a_n}=\sqrt{{S_{2n-1}}}（{n∈{N^*}}）$．
∴${{a}_{n}}^{2}={S}_{2n-1}$，
∴${{a}_{1}}^{2}={S}_{1}={a}_{1}$，由a₁＞0，解得a₁=1，
${{a}_{2}}^{2}={S}_{3}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}$=3a₂，由a₂＞0，解得a₂=3，
∴公差d=a₂-a₁=2，
a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}≤\frac{n+8}{n}$对任意n∈N^*恒成立，
∴$\frac{λ}{2（n+1）-1}$$≤\frac{n+8}{n}$对任意n∈N^*恒成立，
∴$λ≤\frac{n+8}{n}×（2n+1）$=$\frac{2{n}^{2}+17n+8}{n}$=$2n+\frac{8}{n}+17$≥2$\sqrt{2n×\frac{8}{n}}$+17=25．
当且仅当2n=$\frac{8}{n}$，即n=2时，取等号，
∴实数λ的最大值为25．
故答案为：25．

点评 本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和均值定理的合理运用．