Question

18．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=$\sqrt{x}$．又函数g（x）=cos$\frac{πx}{2}$，x∈[-3，3]，则函数F（x）=f（x）-g（x）的所有零点之和等于（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用奇偶性和对称性作出f（x）和g（x）的函数图象，利用周期性得出F（x）的零点间的关系，计算F（x）在（0，1）上的零点即可得出零点之和．

解答 解：∵f（2-x）=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，
又f（x）是奇函数，
∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）和g（x）在[-3，3]上的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=g（x）在[-3，3]上有3个零点，
不妨设a，b，c且a＜b＜c，
∵f（x）和g（x）都是周期为4的函数，
∴a=b-2，c=b+2，
∴a+b+c=3b．
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，g（$\frac{1}{2}$）=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴a+b+c=3b=$\frac{3}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与对称性性的应用，属于中档题．