Question

6．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x^m}$，且$f（2）=\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）当x∈[-5，-3]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据f（2）=$\frac{3}{2}$，求出m的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的单调性求出函数在闭区间的最大值即可．

解答 解：（1）由$f（2）=\frac{3}{2}$，得$2-\frac{1}{2^m}=\frac{3}{2}$，解得m=1，故$f（x）=x-\frac{1}{x}$．
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且${x_1}＜{x_2}，f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-\frac{1}{x_1}-（{{x_2}-\frac{1}{x_2}}）$
=$（{{x_1}-{x_2}}）（{1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$，
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴${x_1}-{x_2}＜0，1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0，f（{x_1}）-f（{x_2}）＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为 f（x）是奇函数，f（x）在（0，+∞）上递增，
所以f（x）在（-∞，0）上递增，
当x∈[-5，-3]时，函数f（x）的最大值为$f（{-3}）=-\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．