Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，点E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁E⊥BD；
（Ⅱ）求平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）求四面体A₁-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：连结AC，交BD于点O，连结A₁O，EO；
（Ⅰ）证明A₁O⊥BD，BD⊥AC，从而证明BD⊥平面ACEA₁，从而得证；
（Ⅱ）由勾股定理可证得A₁O⊥OE，从而可证A₁O⊥平面EBD，则平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）V_A1-BDE=

1

3

•A₁O•S_△EBD=

1

3

×

6

a×

1

2

×2

2

a×

3

a，化简即可．

解答： 解：如图，连结AC，交BD于点O，连结A₁O，EO；
（Ⅰ）证明：∵O是BD的中点，A₁D=A₁B；
∴A₁O⊥BD，
又∵BD⊥AC，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥平面ACEA₁，
∴A₁E⊥BD；
（Ⅱ）证明：∵A₁O²=AO²+A₁A²=6a²，
OE²=OC²+CE²=3a²，
A₁E²=A₁C₁²+C₁E²=8a²+a²=9a²，
∴A₁O²+OE²=A₁E²，
∴A₁O⊥OE，
又∵BD∩OE=O，
∴A₁O⊥平面EBD；
∴平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）V_A1-BDE=

1

3

•A₁O•S_△EBD
=

1

3

×

6

a×

1

2

×2

2

a×

3

a
=2a³．

点评：本题考查了空间中直线与平面的位置关系，同时考查了体积的求法，属于中档题．