Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面AB、CD的交点．
（1）求异面直线D₁A与C₁O所成的角；
（2）求证：面AA₁C₁C垂直于面AB₁D₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BC₁，C₁D，可得ABC₁D₁是平行四边形．由于AD₁∥BC₁，可得∠BC₁O为AC₁与B₁C所成的角．
（2）利用BD∥B₁D₁与面面垂直的判定定理即可获证．

解答： 解：（1）连接BC₁，C₁D，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形．
∵AD₁∥BC₁，
∴∠BC₁O为AC₁与B₁C所成的角．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BC₁=C₁D=BD．
又O是BD的中点，
∴∠BC₁O=30°，
∴异面直线AD₁与 C₁O所成角为30°．
（2）：∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，垂足为点O，
∵BD∥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁C．

点评：本题考查了正方体的性质、平行四边形的判定定理及其性质定理、等边三角形的性质、线面判定定理、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．