Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）都在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n²，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 （1）（a_n+1，S_n）都在直线2x+y-2=0上．可得2a_n+1+S_n-2=0，利用递推关系可得：a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=na_n²=$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：（a_n+1，S_n）都在直线2x+y-2=0上．
∴2a_n+1+S_n-2=0，
∴n≥2时，2a_n+S_n-1-2=0，可得：2a_n+1-2a_n+a_n=0，∴a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为1．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）证明：b_n=na_n²=$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$．
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=1+$2×\frac{1}{4}$+$3×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$n•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{4}{T}_{n}$=$\frac{1}{4}+2×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$+n$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴$\frac{3}{4}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n-1}$-n$•（\frac{1}{4}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n}}{1-\frac{1}{4}}$-n$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴T_n=$\frac{16}{9}$-$\frac{4+3n}{3×{4}^{n}}$＜$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．