Question

1．如图，在正四棱锥P-ABCD中，点M为侧棱PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接MO，推导出MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．
（Ⅱ）连接PO，推导出PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PA，再推导出MO⊥PA，由此能证明PA⊥平面BDM．

解答 证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P-ABCD中，
连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．（1分）
因为ABCD为正方形，则O为AC中点．
又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．（3分）
又因为PC?面BDM，MO?面BDM，
所以PC∥平面BDM．（5分）
（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P-ABCD中，
PO⊥平面ABCD，（6分）
BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）
又因为BD⊥AC，（8分）
AC∩PO=O，且AC?平面PAC，PO?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，（9分）
又因为PA?平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）
由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．（11分）
又MO∩BD=O，且MO?平面BDM，BD?平面BDM，
所以PA⊥平面BDM．（12分）

点评 本题考查线面平行与线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．