Question

4．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边长分比为a，b，c，且a=5，cosB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为12，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b，sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及sinB的值代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∵a=5，b=4，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{5×\frac{3}{5}}{4}$=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）由三角形面积公式得：S=$\frac{1}{2}$acsinB，即$\frac{1}{2}$×5c×$\frac{3}{5}$=12，
解得：c=8，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=25+64-64=25，
解得：b=5．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．