Question

16．已知动圆P过点F（1，0）且和直线l：x=-1相切．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）已知点M（-1，0），若过点F的直线与轨迹E交于A，B两点，求证：直线MA，MB的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程．
（2）设直线AB的方程为x=my+1，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论．

解答 解：由题意得：圆心P到点F的距离等于它到直线l的距离，
∴圆心P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线．
设圆心P的轨迹方程为y²=2px（p＞0）（p＞0）．
∵$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2．
∴圆心P的轨迹方程为：y²=4x；
证明：（2）设直线AB的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与抛物线可得y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴k_MA+k_MB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（1+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=0，即直线MA，MB的斜率之和为定值．

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．