Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与C相交于A，B两点，∠AOB（O为坐标原点）为钝角，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得m的范围，再由根与系数的关系结合$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}＜0$进一步求得m的范围得答案．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-12（2m²-2）＞0，得m²＜3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，①
∵∠AOB为钝角，∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}＜0$，
即$2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}＜0$，②
把①代入②得：$2×\frac{2{m}^{2}-2}{3}-\frac{4}{3}m×m+{m}^{2}＜0$，
解得：$-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵A、B、O三点不共线，∴m≠0．
∴实数m的取值范围为（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0$）∪（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．