Question

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的一个动点，当$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PA}$取得最小值时，$\frac{CP}{CB}$的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积与余弦定理，求出$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$取最小值时AP=DP，求出P是AD的中垂线和BC的交点，从而求出CP的值和$\frac{CP}{CB}$的值．

解答 解：如图所示，
梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的一个动点，
$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=|$\overrightarrow{PD}$|•|$\overrightarrow{PA}$|cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=$\frac{{AP}^{2}{+DP}^{2}-1}{2}$≥$\frac{2AP•DP-1}{2}$，当且仅当AP=DP，取“=”；
即P是AD的中垂线和BC的交点时，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$最小；
此时，CP=$\frac{3}{2}$，CB=2，∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理与平面向量的数量积公式以及基本不等式的应用问题，是综合性题目．