Question

13．（文科生做）已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，
（1）求实数m的取值范围；
（2）求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离小于半径，即可求实数m的取值范围；
（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即k_OP•k_OQ=-1，亦即x₁x₂+y₁y₂=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y₁、y₂的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可．

解答 解：（1）圆x²+y²+x-6y+m=0，可化为（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=-m+$\frac{37}{4}$，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{-m+\frac{37}{4}}$，
∴-m+$\frac{37}{4}$＞$\frac{5}{4}$，
∴m＜8；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k_OP•k_OQ=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又因为x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
将直线l的方程：x=3-2y代入圆的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁y₂=$\frac{12+m}{5}$，
代入①式得：5×$\frac{12+m}{5}$-6×4+9=0，解得m=3，
故实数m的值为3．

点评 本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．