Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（I）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；
（II）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q?￢p，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）对于命题p：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，∴a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q?￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A?B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，
则0＜a≤2且3a＞3，
∴实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．